Para encontrar las horas en que el parque tenía exactamente 500 personas basta con resolver la ecuación $$200+80t-4t^2=500.$$ Reorganizamos: $$-4t^2+80t+200-500=0⟹-4t^2+80t-300=0.$$ Multiplicamos por $-1$ y simplificamos: $$4t^2-80t+300=0⟹t^2-20t+75=0.$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $$t=\frac{20\pm \sqrt{{20}^2-4\cdot 1\cdot 75}}{2}=\frac{20\pm \sqrt{400-300}}{2}=\frac{20\pm 10}{2}.$$ Esto da dos soluciones: $$t_1=\frac{20+10}{2}=15,t_2=\frac{20-10}{2}=5.$$ El tiempo $t$ está medido en horas a partir de las 8:00 a.m. Por lo tanto: - Cuando $t=5$: $8:00\text{a.m.}+5\text{ h}=13:00$ (1 p.m.). - Cuando $t=15$: $8:00\text{a.m.}+15\text{ h}=23:00$ (11 p.m.).

📏Conclusión

El parque tiene exactamente 500 personas a la 1 p.m. y a las 11 p.m., se debe tener presente que a las 11 p.m. el parque se encuentra cerrado, por tal motivo, se descarta como respuesta al problema.