¿Por qué dos resultados distintos pueden ser correctos?

Cuando resolvemos una integral indefinida, es posible que dos procedimientos diferentes produzcan resultados que no se ven exactamente iguales. Sin embargo, ambos pueden ser correctos.

La clave está en la constante de integración

Toda integral indefinida incluye una constante llamada C.

Esto ocurre porque al derivar una constante el resultado es cero. Por lo tanto, muchas funciones diferentes pueden tener la misma derivada.

Consideremos la integral:

$$ \int \frac{x}{x+1} \, dx $$

Método 1: Descomposición algebraica

$$ \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} $$ $$ \int \frac{x}{x+1} dx = \int \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) dx $$ $$ = \int 1 dx - \int \frac{1}{x+1} dx $$ $$ = x - \ln|x+1| + C $$

Método 2: Sustitución

Sea $t = x+1$ $$ \int \frac{x}{x+1} dx = \int \frac{t-1}{t} dt $$ $$ = \int \left(1 - \frac{1}{t}\right) dt $$ $$ = t - \ln|t| + C $$ Sustituyendo $t = x+1$: $$ = (x+1) - \ln|x+1| + C $$

¿Por qué parecen distintos?

Observe que: $$ (x+1) - \ln|x+1| = x - \ln|x+1| + 1 $$ La diferencia es solo el número 1.

Pero en integrales indefinidas:

Si $C$ es constante, entonces $C+1$ también es una constante.

¿Qué significa esto?

Significa que ambas expresiones representan la misma familia de funciones. Aunque se vean diferentes, al derivarlas producen exactamente la misma función original.

Conclusión:

Dos primitivas que difieren en una constante representan la misma familia de funciones, en otras palabras, en integrales indefinidas, dos resultados que difieren solo en una constante son matemáticamente equivalentes.