La función $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}- \dfrac{4}{x+1}$, se puede reescribir $f(x)= \dfrac{x^2+4}{x+1}$

1. Dominio.

   La función racional no existe cuando el denominador es cero, entonces: $\quad x+1=0 \quad\to \quad x=-1,$

   por tanto, $dom \space f=\mathbb{R}-\{-1\}$ o en intervalos: $$(-\infty,-1)\cup(-1,\infty)$$

2. Interceptos con los ejes.

   Intercepto con el eje $x$, se buscan cuando $f(x)=0$, entonces $$x^2-4=0$$ $$(x-2)(x+2)=0$$ $$x=2,\quad x=-2$$

   Interceptos: $\quad(2,0),\quad (-2,0)$

   Intercepto con el eje $y$, se evalúa en $x=0$: $$f(0)=\frac{0^2-4}{0+1}=-4$$

   Intercepto: $\quad(0,-4)$

3. Simetría.

   Evaluamos $f(-x)=\dfrac{x^2-4}{1-x}$.

   No se cumple $f(-x)=f(x)$ ni $f(-x)=-f(x)$, entonces $\text{La función no es par ni impar}$

4. Asintotas

   Asíntota vertical, ocurre donde $x+1=0 \to x=-1$, entonces:

   $x=-1$ es una asíntota vertical.

   Asíntota oblicua, dividimos $\dfrac{x^2-4}{x+1}$ (división de polinomios)
   $x^2-4=(x+1)(x-1)-3$, entonces:
   $f(x)=x-1-\dfrac3{x+1}$, así:

   $y=x-1$ es una asíntota oblicua.

5. 1° Derivada y puntos críticos.

   Usando regla del cociente: $$f'(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2-4)}{(x+1)^2}$$

   Simplificando: $\quad f'(x)=\dfrac{x^2+2x+4}{(x+1)^2}$

   Los puntos críticos se buscan donde $f'(x)=0$, entonces $x^2+2x+4=0$

   Discriminante: $\quad d=2^2-4(1)(4)=4-16=-12$, no tiene soluciones reales. Además, $x=-1$ no pertenece al dominio.

   Por tanto $\text{no tiene puntos críticos}$

6. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

   Analizamos el signo de $f'(x)=\dfrac{x^2+2x+4}{(x+1)^2}$

   • El denominador es positivo.
   • El numerador siempre es positivo porque:

   $x^2+2x+4=(x+1)^2+3>0$, entonces $f'(x)>0$ en todo el dominio.

   En conclusión, la función es creciente en $(-\infty,-1)$ y también en $(-1,\infty)$

   No tiene intervalos de decrecimiento.

7. 2° derivada y puntos de inflexión.

   Derivando nuevamente $\quad f''(x)=\dfrac{-6}{(x+1)^3}$

   La concavidad cambia en $x=-1$, pero allí la función no existe. Por tanto: $\text{No tiene punto de inflexión}$

8. Concavidades.

   Si $x<-1 \to (x+1)^3<0$, entonces $f''(x)>0$ la función es cóncava hacia arriba.

   Si $x>-1 \to (x+1)^3>0$, entonces $f''(x)<0$, la función es cóncava hacia abajo.

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