Función: $\quad f(x)=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}$
Intercepto eje $y$
Crecimiento
Concavidad abajo
$(1,+\infty)$
Para que la función exista, el radicando debe ser positivo, además, diferente de cero porque está en el denominador: $$x-1>0,$$
entonces: $\quad x>1$, por tanto, el dominio es:
$$dom\space f=(1,+\infty)$$Intercepto con el eje $x$, se busca cuando $f(x)=0$, esto ocurre cuando el numerador es cero: $$x^3=0 \Rightarrow x=0,$$
pero $x=0\notin dom \space f$, entonces no tiene intercepto con el eje $x$.
Intercepto con el eje $y$, se evalúa en $x=0$, pero la función no existe allí, por tanto, no tiene intercepto con el eje $y$.
Analizamos $\quad f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{\sqrt{-x-1}}$
La función no cumple $f(-x)=f(x)$ ni $f(-x)=-f(x)$, además, el dominio no es simétrico respecto al origen, por tanto, la función no es par ni impar
La funcón $f(x)$ no es simétrica.
Analicemos la asintota en $x=1$, cuando $x\to 1^+$ $\quad \sqrt{x-1}\to0^+$, entonces $f(x)\to+\infty$, osea, $$\displaystyle\lim_{x \to ∞} \dfrac{x^3}{\sqrt{x-1}} = +∞,$$ por tanto, hay una asíntota vertical en $\quad x=1$.
Derivamos $\quad f(x)=x^3(x-1)^{-1/2}$, y se tiene que: $$f'(x)=3x^2(x-1)^{-1/2}-\dfrac12 x^3(x-1)^{-3/2}$$
Factorizando y simplificando $\quad f'(x)=\dfrac{x^2(5x-6)}{2(x-1)^{3/2}}$
Los puntos críticos se buscan donde $f'(x)=0$, entonces $$\quad x^2(5x-6)=0$$ $$x=0,\qquad x=\frac65,$$
pero $x=0\notin don \space f$, por tanto, el único punto crítico es en $$x=\dfrac65$$
Evaluamos la función $\quad f\left(\frac65\right)= \frac{\left(\frac65\right)^3}{\sqrt{\frac65-1}}$
Punto crítico: $\quad P\left(\dfrac65,3.86\right)$
Analizamos el signo de $f'(x)=\dfrac{x^2(5x-6)}{2(x-1)^{3/2}}$
Teniendo presente el dominio y terminos de la función, se tiene que:
📍 El denominador siempre es positivo, ya que $x>1$.
📍 $x^2>0$.
👉 Entonces el signo depende del termino $(5x-6)$
Intervalo $\left(1,\dfrac65 \right) \quad\to\quad 5x-6<0$, la función decrece.
Intervalo $\left(\dfrac65,+∞ \right) \quad\to\quad 5x-6>0$, la función crece.
Como cambia de negativo a positivo hay un mínimo relativo en $x=\dfrac65$
Derivamos nuevamente, $f''(x)=\dfrac{x(15x^2-36x+24)}{4(x-1)^{5/2}}$
Factorizamos el trinomio $15x^2-36x+24$, donde, discriminante $(-36)^2-4(15)(24)=1296-1440=-144$ no tiene raíces reales.
Los puntos de inflexión ocurren cuando $\quad f''(x)=0$
$$\frac{-3x}{(x^2+1)^{5/2}}=0,$$No existen porque la concavidad nunca cambia, entonces: $\text{No tiene puntos de inflexión}$
Como el coeficiente principal es positivo
$15x^2-36x+24>0$ para todo $x$.
Entonces en el dominio
📍 Numerador positivo.
📍 Denominador positivo.
Así $f''(x)>0$ para todo $x>1$
Como $f''(x)>0$, la función es $\text{Cóncava hacia arriba en }(1,\infty)$
Intervalos: $(1,\infty)$
Función: $\quad f(x)=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}$ | Resultado | |
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| Dominio $f$ | $(1,+\infty)$ | |
| Intercepto eje $x$ Intercepto eje $y$ | No tiene interceptos | |
| Simetría | No tiene simetrías | Asintota Vertical | $x=1$ |
| Puntos críticos | $x=\dfrac65 \to P\left(\dfrac65,3.86\right)$ | |
| Decrecimiento Crecimiento | Decrece $\left(1,\frac65 \right),$ Crece $\left(\frac65,+∞ \right)$ | |
| Punto de Inflexión | No tiene | |
| Concavidad arriba Concavidad abajo | Siempre es cóncava hacia arriba $(1,+\infty)$ |
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