1. Dominio.

   La raíz debe estar definida y el denominador no puede ser cero: $$x^2+1>0$$

   Esto ocurre para todo número real, por tanto, dominio $$dom\space f = (-\infty,\infty)$$

2. Interceptos con los ejes.

   Intercepto con el eje $y$, evaluamos en $x=0$: $$f(0)=\frac{0}{\sqrt{0+1}}=0,$$

   entonces el intercepto es: $\quad(0,0)$

   Intercepto con el eje $x$, se cumple cuando $f(x)=0$

   Una fracción vale cero cuando el numerador es cero, $x=0,$ entonces también $\quad(0,0)$

3. Simetría.

   Evaluamos: $$f(-x)=\frac{-x}{\sqrt{(-x)^2+1}}=\frac{-x}{\sqrt{x^2+1}}=-f(x)$$

   Por tanto, la función es impar, simetría respecto al origen.

4. Asintotas

   La gráfica corresponde a una curva creciente con asíntotas horizontales en $y=1 \quad \text{y} \quad y=-1$ además pasa por el origen y cambia de concavidad en $(0,0)$.

5. 1° Derivada y puntos críticos.

   Derivamos, $\quad f(x)=x(x^2+1)^{-1/2}$ $$f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$$

   Como $\quad(x^2+1)^{3/2}>0$, para todo ($x$), entonces,
   $f'(x)>0$ para todo real.

   Los puntos críticos ocurren cuando $f'(x)=0 \quad \text{o} \quad$ $f'(x)$ no existe, pero $f'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$ nunca es cero ni indefinida, por tanto, no tiene puntos críticos.

6. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

   Como $f'(x)>0$ para todo ($x$), la función es creciente en:

   $$(-\infty,\infty)$$

   Decrecimiento, la función $f(x)$ no tiene intervalos de decrecimiento.

7. 2° derivada y puntos de inflexión.

   Derivamos nuevamente, donde, $\quad f''(x)=\dfrac{-3x}{(x^2+1)^{5/2}}$

   Los puntos de inflexión ocurren cuando $\quad f''(x)=0$

   $$\frac{-3x}{(x^2+1)^{5/2}}=0,$$

   entonces, $x=0$, evaluamos $f(0)=0$, pot tanto, punto de inflexión $(0,0)$

8. Concavidades.

   Si ($x<0$), $f''(x)>0$, entonces, la función es cóncava hacia arriba.
   
   Si ($x>0$), $f''(x)<0$, entonces, la función es cóncava hacia abajo.

   Intervalos:

   Cóncava hacia arriba, $\quad (-\infty,0)$

   Cóncava hacia abajo, $\quad(0,\infty)$

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