🔢El número decimal \(3,1181818...\) es un decimal periódico mixto, para expresar el decimal en su fracción generatriz, se puede expresar como la suma de un número entero y una serie geométrica:

La parte entera es \(3\), la parte decimal no periódica es \(0,1\), o sea, representada como $\dfrac{31}{10} = 3,1$

La parte decimal periódica es \(0,0181818...\), y se puede expresar como una serie geométrica, descompongamos esta parte en varias fracciones:

Sumando todas las fracciones, obtenemos la serie geométrica:

$$0,0181818... = 0,018 + 0,00018 + 0,0000018 + ...$$ $$0,0181818... = \frac{18}{10^3} + \frac{18}{10^5} + \frac{18}{10^7} + ...,$$

donde, el primer término de la serie es: $\quad a = \dfrac{18}{10^3}, \quad$ y la razón es: $$ r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{18}{10^7}}{\frac{18}{10^5}} = \frac{\cancel{18} \cdot 10^5}{\cancel{18} \cdot 10^7} = 10^{5-7} = 10^{-2}, \qquad r=\frac{1}{10^2}$$

Como $|r| < 1$, la serie geométrica es convergente, por tanto, su suma es:

$$S = \frac{a}{1-r} = \frac{\dfrac{18}{10^3}}{1-\dfrac{1}{10^2}} = \frac{\dfrac{18}{1000}}{\dfrac{99}{100}} = \frac{18\cdot \cancel{100}}{99 \cdot 10\cancel{00}} = \frac{18}{990}$$

Ahora, si sumamos la parte entera $3$, la parte decimal no periódica $0,1$ y la suma de la serie, obtenemos:

$$3,1 + 0,0181818... = \dfrac{31}{10} + \frac{18}{990} = \frac{343}{110}$$