🔢Para resolver ${\displaystyle \int \frac{3x^2-x+9}{x(x^2+9)}dx}$ utilizaremos la descomposición en fracciones parciales, buscamos constantes $A,B,C$ tal que

$$\frac{3x^2-x+9}{x(x^2+9)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+9}.$$

Multiplicando ambos lados por $x(x^2+9)$ obtenemos

$$3x^2-x+9=A(x^2+9)+(Bx+C)x.$$

Expandiendo:

$$3x^2-x+9=A{x}^2+9A+B{x}^2+Cx=(A+B)x^2+Cx+9A.$$

Igualando coeficientes se llega a:

$$\{\begin{array}{l}A+B=3,\\ C=-1,\\ 9A=9.\end{array}$$

De allí:

$$A=1,B=3-A=2,C=-1.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3x^2-x+9}{x(x^2+9)}=\frac{1}{x}+\frac{2x-1}{x^2+9}}}}$$

Integración, ahora integramos cada término por separado:

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|.$$

Para ${\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+9}dx}$ hacemos $u=x^2+9$, $du=2xdx$:

$$\int \frac{2x}{x^2+9}dx=\int \frac{1}{u}du=\ln (u)=\ln (x^2+9).$$

Finalmente,

$$\int \frac{-1}{x^2+9}dx=-\frac{1}{3}\arctan \left(\frac{x}{3}\right)$$

porque ${\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)}$ con $a=3$.

Sumando los tres resultados:

$$\int \frac{3x^2-x+9}{x(x^2+9)}dx=\ln |x|+\ln (x^2+9)-\frac{1}{3}\arctan \left(\frac{x}{3}\right)+C,$$

donde $C$ es la constante de integración.

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2-x+9}{x(x^2+9)}dx=\ln |x|+\ln (x^2+9)-\frac{1}{3}\arctan \left(\frac{x}{3}\right)+C}}}$$

Y eso es todo. Si quieres simplificar los logaritmos puedes usar }$\ln |x|+\ln (x^2+9)=\ln (|x|(x^2+9))$. ¡Éxito con tus cálculos!