🔢Para resolver $$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}},$$

es conveniente hacer la sustitución trigonométrica $\space$ $x=3\sin \theta$
(con $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$).

Entonces

$$dx=3\cos \theta d\theta ,9-x^2=9-9{\sin }^2\theta =9{\cos }^2\theta .$$

Sustituyendo en la integral original, se obtiene:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\int \frac{3\cos \theta d\theta }{\sqrt{9{\cos }^2\theta }}=\int \frac{3\cos \theta d\theta }{3|\cos \theta |}=\int d\theta =\theta +C.$$

Como $\theta =\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)$, la antiderivada queda

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)+C}}}.$$

(Con la condición $|x|<3$ para que la raíz sea real.)