🔢Para resolver $$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx,$$ empleamos las identidades trigonométricas del ángulo doble.

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Donde, al multiplicarlas se obtiene:

$${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1-{\cos }^{2}2x}{4}.$$

Utilizamos la identidad para simplificar: $\space$ $1-{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$

$${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}2x}{4}.$$

Aplicamos de nuevo la identidad de doble ángulo a ${\sin }^{2}2x$

$${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}.$$

Por lo tanto

$${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1-\cos 4x}{8}=\frac{1}{8}-\frac{\cos 4x}{8}.$$

Regresamos a integrar término a término:

$$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\int (\frac{1}{8}-\frac{\cos 4x}{8})dx=$$

$$=\frac{x}{8}-\frac{1}{8}\int \cos 4xdx=\frac{x}{8}-\frac{1}{8}\left(\frac{\sin 4x}{4}\right)+C=$$

$$=\boxed{{\displaystyle \frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C}}.$$

Así, la antiderivada de ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ es

$$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C.$$