🔢Para evaluar $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+7}-4},$$

Observamos que tanto el numerador como el denominador se anulan cuando $x=3$.

El método más directo es racionalizar el denominador.

✏️ Paso 1: Racionalizar. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\sqrt{x^2+7}+4$:

$$\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+7}-4}\frac{\sqrt{x^2+7}+4}{\sqrt{x^2+7}+4}=\frac{(x^2-9)(\sqrt{x^2+7}+4)}{x^2+7-16}.$$

El denominador se simplifica a $x^2-9$, entonces:

$$\frac{(x^2-9)(\sqrt{x^2+7}+4)}{x^2-9}=\sqrt{x^2+7}+4(x\ne 3).$$

✏️ Paso 2: Calcular el límite. Ahora basta con sustituir $x=3$:

$$\underset{x\to 3}{lim}(\sqrt{x^2+7}+4)=\sqrt{3^2+7}+4=\sqrt{16}+4=4+4=8.$$