Cálculo sin miedo:

Guía de fórmulas y
problemas resueltos

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Fondo Editorial RED Descartes

Título de la obra:
Cálculo sin miedo:
Guía de fórmulas y problemas resueltos

Autor:
Carlos Alberto Rojas Hincapié

Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN:

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

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Prefacio

Esta apertura plantea una forma de pensar que alivia la ansiedad y facilita el aprendizaje. Se describen estrategias prácticas para estudiar, leer fórmulas y organizar el material. Te dejo una visión general de lo que contiene la guía y cómo aprovecharla al máximo.

Enfrentar el cálculo con confianza implica reconocer que esta rama de la matemática no es un conjunto de fórmulas abstractas destinadas solo a unos pocos, sino un lenguaje que nos permite comprender los cambios, los movimientos y las transformaciones del mundo que habitamos.

Cada concepto —el límite, la derivada o la integral— surge de una necesidad profundamente humana: describir cómo algo varía, crece o se detiene en el tiempo. Comprender su sentido antes que su técnica es el primer paso para perder el miedo.

El temor al cálculo suele nacer de la distancia con que, a veces, se nos presenta. Sin embargo, cuando lo abordamos desde la comprensión y no desde la memorización, el panorama cambia. Las fórmulas dejan de ser símbolos fríos y se transforman en herramientas para pensar, razonar y descubrir relaciones entre fenómenos aparentemente distintos. La confianza se construye cuando el estudiante entiende que cada error es una oportunidad para profundizar, que equivocarse forma parte natural del proceso de aprendizaje y que dominar el cálculo es una conquista gradual.

Afrontar el estudio del cálculo requiere paciencia, constancia y una actitud investigadora. Es recomendable avanzar paso a paso, cimentando los conocimientos previos —álgebra, funciones, geometría— y permitiendo que los nuevos conceptos se integren de manera progresiva.

El verdadero aprendizaje ocurre cuando se logra establecer conexiones entre las ideas, cuando se comprende el “por qué” detrás de cada procedimiento, y cuando se asume la curiosidad como motor del razonamiento.

En última instancia, el cálculo no solo enseña a resolver problemas matemáticos, sino a pensar con rigor y claridad. Nos invita a observar el mundo con una mirada analítica, a modelar situaciones complejas y a tomar decisiones sustentadas en evidencia.

Enfrentarlo con confianza significa aceptar el desafío intelectual que propone, pero también reconocer el poder transformador que ofrece: el de descubrir, en cada fórmula, una forma más profunda de entender la realidad.

Finalmente, recuerda que el cálculo no solo te enseña a resolver ecuaciones; te enseña a pensar con precisión, a observar patrones, a anticipar resultados y a enfrentar lo desconocido con método y serenidad. En otras palabras, aprender cálculo es también aprender una forma de mirar la vida con más claridad y control.

Así que respira, toma tu lápiz, y da el primer paso, el cálculo no quiere asustarte: quiere que descubras de lo que eres capaz.

A medida que avances en cada capítulo del libro, en cada uno encontraras:

Problemas resueltos: guía paso a paso con soluciones detalladas

Colección de problemas representativos resueltos con un ritmo claro y explicaciones en cada paso. Incluye notas sobre cómo detectar la técnica adecuada, errores comunes a evitar y trucos para simplificar cálculos. Perfecto para practicar y consolidar lo aprendido con ejemplos gestionables.

Fórmulas útiles y atajos: tu tabla de referencia

Recopilación de fórmulas de derivadas e integrales que suelen repetirse en ejercicios y exámenes. Se destacan reglas rápidas, identidades útiles y estrategias para “memorizarlas sin dolor” sin perder la comprensión de por qué funcionan. Ideal para consultas rápidas durante el estudio o la resolución de problemas.

Funciones y límites: La base del cálculo

Se revisan las ideas clave de funciones, dominio y rango, y el concepto central de límite. Incluye ejemplos resueltos de límites por sustitución, aproximación y técnicas rápidas para ubicar el valor de un límite. Esta base te ayudará a entender qués puede hacer el cálculo por ti.

Derivadas: Reglas básicas y métodos

Explicación clara de la derivada como tasa de cambio y pendiente de la recta tangente. Se cubren las reglas fundamentales (potencia, suma, producto, cociente y cadena) con ejemplos resueltos paso a paso. También se muestran intuiciones geométricas para entender qué está midiendo la derivada.

Aplicaciones prácticas de la derivada: optimización, tasas relacionadas y análisis de comportamiento de funciones. Se presentan problemas resueltos que ilustran cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos y para interpretar cambios en escenarios reales.

Integrales: Ideas fundamentales y antiderivadas

Introducción a la idea de la integral como acumulación y como antiderivada. Se cubren notación, propiedades básicas y relaciones entre derivadas e integrales. Incluye ejemplos resueltos que muestran cómo pasar de una derivada a una integral y viceversa.

Se explican métodos habituales: sustitución, integración por partes y uso de fracciones parciales, entre otros. Cada técnica va acompañada de ejemplos detallados que muestran cuándo y cómo aplicarlas para resolver integrales más complejas.

Introducción a la idea de la integral como acumulación y como antiderivada. Se cubren notación, propiedades básicas y relaciones entre derivadas e integrales. Incluye ejemplos resueltos que muestran cómo pasar de una derivada a una integral y viceversa.

Se muestran usos clásicos de la integral: áreas entre curvas, longitudes de arco y otras aplicaciones geométricas y físicas. Los ejemplos resueltos ilustran el paso a paso para convertir un problema en una integral bien planteada.

Sucesiones y series: Conceptos de convergencia y herramientas

Se introducen secuencias y series, pruebas básicas de convergencia y usos prácticos de series de potencias. Incluye ejemplos que ayudan a entender cuándo una serie converge y cómo estimar su suma o representar funciones mediante series.

Se revisan las ideas clave de funciones, dominio y rango, y el concepto central de límite. Incluye ejemplos resueltos de límites por sustitución, aproximación y técnicas rápidas para ubicar el valor de un límite. Esta base te ayudará a entender qués puede hacer el cálculo por ti.

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📝 Tipo y clasificación de las funciones

Función Lineal $f(x) = mx +b$

La función lineal es una función de primer grado, donde $m$ se conoce como la pendiente (grado de inclinación de la línea recta) y $b$ es el intercepto con el eje $y$ (el punto de corte $(0, b))$.

Una de las formas de hallar la pendiente $m$ de una recta es tomar dos puntos sobre dicha recta, entonces sean los puntos $\begin{aligned} P_1 (x_1, y_1) \end{aligned}$ y $\begin{aligned} P_2 (x_2, y_2) \end{aligned}$ donde la pendiente está dada por la expresión: $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Si se tienen dos puntos que pertenecen a una recta se puede hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos aplicando el método conocido como punto- pendiente

Donde, con la pendiente y uno de los puntos se aplica la expresión: $$ y - y_1 = m (x - x_1)$$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$(Prepresentación Gráfica)

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🅿️ Un laboratorio de Física Mecánica consistió en colocar un carrito de cuerda sobre una pista recta, ponerlo en marcha con velocidad constante y medir luego la posición del carrito, con respecto al inicio de la pista, cada $10$ segundos. Donde $t$ es el tiempo (en segundos) y $s(t)$ la posición del carrito con respecto al inicio de la pista (en centímetros). A continuación se presentan los resultados obtenidos por un grupo de estudiante:

$t$ (seg.)	0	10	20	30	40	50
$s$ (cm)	8	38	68	98	128	158

📈 Gráfica.

🔢 De acuerdo con la situación anterior:

1. El modelo matemático que representa la situación es:
   
   

   Primero localizamos la relación entre la posición $s(t)$ y el tiempo $t$.

   Como el carrito se mueve con velocidad constante, la función es lineal: $$s(t)=mt+s_0$$

   Donde $m$ es la pendiente y $s_0$ la posición inicial.

   $$\begin{array}{rl}m& =\frac{s(10)-s(0)}{10-0}=\frac{38-8}{10}=3\text{cm/s}\\ s_0& =s(0)=8\text{cm}\end{array}$$

   Así, el modelo matemático es

   $$\boxed{{\displaystyle s(t)=3t+8}}(t\text{ en segundos},s(t)\text{ en centímetros})$$

1. A partir del modelo matemático. ¿A qué distancia, a partir del inicio de la pista, se encuentra el carrito 37 segundos después de haber comenzado el movimiento?

   Posición a los $37$ s ($t=37$):

   $$s(37)=3(37)+8=111+8=119\text{cm}$$

   El carrito está a $119$ cm del inicio de la pista.

2. ¿A los cuántos segundos, después de haber comenzado el movimiento, el carrito se encuentra a $82$ cm del inicio de la pista?

   Tiempo cuando la posición es $82$ cm

   $$3t+8=82⟹3t=74⟹t=\frac{74}{3}\approx 24.67\text{s}$$

   El carrito alcanza los $82$ cm en aproximadamente $24.67$ s.

3. Si la pista tiene una longitud de $200$ cm, ¿cuánto tiempo se tardó el carrito en recorrer toda la pista?

   Tiempo para recorrer una pista de $200$ cm

   $$3t+8=200⟹3t=192⟹t=64\text{s}$$

   El carrito necesita $64$ s para llegar al final de la pista.

4. ¿Qué longitud recorre el carrito cada segundo?

   Longitud recorrida cada segundo corresponde a la velocidad constante que tiene el carrito:

   $$v=\frac{ds}{dt}=3\text{cm/s}$$ El carrito recorre $3$ cm en cada segundo.

Función Cuadrática $f(x) = ax^2 + bx +c$

La función cuadrática se puede expresar en forma canónica:

$$f(x) = a(x - h)^2 +k,$$

donde $(h, k)$ representa las coordenadas del vértice de la parábola y se obtienen:

$f(x) = ax^2 + bx +c, \quad$ son
$\quad h=-\dfrac{b}{2a} \quad$ y $\quad k = f(h)$.

Caso particular, parábola con vertice en el origen $(0, 0)$, donde, $a = 1$, $b = c = 0$,

$$f(x) = x^2$$

Si $a > 0$, entonces existe un valor mínimo en el vértice $(h, k)$, la parábola tiene abertura hacia arriba.

Si $a < 0$, entonces existe un valor máximo en el vértice $(h, k)$, la parábola tiene abertura hacia abajo.

Fórmula general. Se utiliza para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática $\quad f(x) = ax^2 + bx +c,$:

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

Si analizamos el discriminante ($d = b^2 - 4ac$), se puede presentar:

• Si $\quad d > 0, \quad$ tiene dos soluciones $\mathbb{R}$ distintas, $x_1$ y $x_2$.
• Si $\quad d = 0, \quad$ tiene dos soluciones $\mathbb{R}$ iguales, $x_1 = x_2$.
• Si $\quad d < 0, \quad$ no tiene solución en los números $\mathbb{R}$.

Interactivo

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🔢Se tiene $\space a = 3,\space b = 4,\space c = -15,\space $ donde el discriminante es:

Gráfica

se tendrán dos soluciones $\mathbb{R}$ diferentes, rempazando en la fórmula:

Por tanto, las dos raíces $\mathbb{R}$ diferentes son, $\quad x_1 = \dfrac{5}{3},\quad x_2 = -3 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$(Prepresentación Gráfica)

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🅿️ El ingreso a un parque de diversiones, en un día cualquiera, se presenta por medio del siguiente modelo matemático:

$$P(t)= 200+80t-4t^2,$$ donde $P(t)$ representa el número de personas asistentes al parque y $t$ el tiempo transcurrido (en horas), el ingreso es a partir de las 8:00 a.m., hora en que se abrió el parque.

🔢De acuerdo con esta información, responder:

1. ¿A qué horas se presentó la asistencia máxima en el parque?

   
   Para hallar la hora en que el parque alcanza su máxima asistencia basta con ubicar el vértice de la parábola:

   $$P(t)=200+80t-4t^2,$$

   $t$ es el tiempo (en horas) transcurrido desde las 8:00 a.m.

   El vértice de una función cuadrática $a{t}^2+bt+c$, se da en:
   $$t_{}=-\frac{b}{2a}.$$

   En nuestro caso $b=80$: $$t_{}=-\frac{80}{2(-4)}=\frac{80}{8}=10\text{ h}.$$

   Por tanto, la hora de mayor asistencia, $t=10$ h corresponde a

   $$8:00\text{a.m.}+10\text{h}=18:00(\text{6 p.m.}).$$

1. ¿Cuál fue la asistencia máxima en el parque?

   Para obtener la asistencia máxima evaluamos $P(t)$ en $t=10$:

   $$P(10)=200+80(10)-4(10{)}^2=200+800-400=600.$$

   Asistencia máxima $$P_{max}=600\text{ personas},$$

   donde, en el modelo matemático, $(t, p_{max}) = ( 10, 600)$ representa las coordenadas del vértice de la parábola.

   En resumen, el parque alcanza su mayor aforo a las 18:00 h, con 600 personas asistiendo.

2. El parque abre a las 8 a.m. y se cierra a las 7 p.m. El tiempo transcurrido, en horas, es:
   
   

   $$t_{\text{cierre}}=7\text{ p.m.}-8\text{ a.m.}=11\text{h}.$$

   Sustituimos en el modelo:

   $$P(11)=200+80(11)-4(11{)}^2=$$

   $$200+880-4\cdot 121=200+880-484=596.$$
   

   

   
   Por tanto, en la hora de cierre de parque, se encontraban $596$ personas.

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$(Prepresentación Gráfica)

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🅿️ Una pelota de golf se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde de una terraza. La altura (en pies), $H$, alcanzada por la pelota con respecto al nivel de la calle, $t$ segundos después de haberla lanzado, viene dada por la expresión: $H(t)=-16t^2 + 160t + 40$.

🔢Vamos a analizar el problema utilizando la ecuación de altura proporcionada correspondiente a una función cuadrática:

$$H(t)=-16t^2+160t+40$$

La fórmula para el tiempo del vértice de una parábola $H(t)=a{t}^2+bt+c$ es: $$t=-\frac{b}{2a}$$

1. La altura de la terraza es de 40 pies, esta afirmación es verdadera, ya que la altura inicial de la pelota cuando $t=0$ es:

   $$H(0)=-16(0{)}^2+160(0)+40=40\text{ pies}$$

2. Tiempo en que la pelota alcanza su altura máxima después de haber sido lanzada. Para encontrar el tiempo, calculamos el tiempo en el vértice de la parábola.

   Sustituyendo los valores de la ecuación:

   $$t=-\frac{160}{2(-16)}=\frac{160}{32}=5\text{ segundos}$$

   Por lo tanto, la altura máxima se alcanza a los $5$ segundos.

1. La pelota choca contra la calle a los 10,24 segundos después de haber sido lanzada.

   Para encontrar cuándo la pelota choca contra la calle, resolvemos $H(t)=0$: $$-16t^2+160t+40=0$$

   Dividimos toda la ecuación por $-8$ para simplificar:

   $$2t^2-20t-5=0$$

   Usamos la fórmula cuadrática para resolver para $t$:

   $$t=\frac{20\pm \sqrt{(-20{)}^2-4(2)(-5)}}{2(2)}=\frac{20\pm \sqrt{400+40}}{4}$$

   $$t=\frac{20\pm \sqrt{440}}{4}=\frac{20\pm 2\sqrt{110}}{4}=\frac{10\pm \sqrt{110}}{2}$$

   Calculamos $\sqrt{110}\approx 10.488$:

   $$t=\frac{10\pm 10.488}{2}$$

   Solo consideramos la solución positiva:

   $$t=\frac{10+10.488}{2}\approx \frac{20.488}{2}\approx 10.24\text{ segundos}$$

2. La altura máxima alcanzada por la pelota es de 440 pies, para encontrar la altura máxima, sustituimos $t=5$ segundos en la ecuación $H(t)$:

   $$H(5)=-16(5{)}^2+160(5)+40$$

   $$H(5)=-16(25)+800+40=-400+800+40$$

   $$H(5)=440\text{ pies}$$

Funciones trascendentes

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$(Prepresentación Gráfica)

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🅿️ Un grupo de personas asistieron a la inauguración de un almacén de cadena, donde el organizador les anunció promociones especiales durante ese día. El número de asistentes que supieron de las promociones $t$ horas después de iniciada la inauguración crece de forma logística mediante el siguiente modelo:

$$P(t)=\dfrac{300}{1+1,4e^{-0,67t}},$$ donde, $P(t)$ representa al número de asistente en t horas. De acuerdo con lo anterior. ¿Al cabo de cuántas horas de iniciada la inauguración el número de personas que conocían las promociones era de $180$?

🔢 Para encontrar el instante $t$ con $P(t)=180$ basta despejar la variable $t$ e igualar a $180$ en la ecuación logística:

$$180=\frac{300}{1+1,4e^{-0,67t}}⟹1+1,4e^{-0,67t}=\frac{300}{180}=\frac{5}{3}\approx 1,6667$$

$$1,4e^{-0,67t}=1,6667-1=0,6667⟹e^{-0,67t}=\frac{0,6667}{1,4}\approx 0,4762$$

Tomamos logaritmo natural:

$$-0,67t=\ln (0,4762)\approx -0,742⟹t=\frac{-0,742}{-0,67}\approx 1,11\text{h}$$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$(Prepresentación Gráfica)

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🅿️ Un investigador medico está estudiando la propagación de un virus de gripe en un cierto campus durante los meses de invierno. El modelo de la propagación esta descrito por, con $0≤t$, donde $P$ representa el número total de estudiantes infectados y $t$ es el tiempo (en días):

$$P(t)=\dfrac{4500}{1+4499e^{-0,8t}}$$ 📈 Gráfica.

De acuerdo con la situación anterior, responder:

🅰️ ¿Cuántos estudiantes estarán infectados en una semana?

$$P(x)=\frac{4500}{1+4499e^{-0.8x}},0\le x(\text{días}),$$

$P(0)=1$ (un único contagiado al inicio) y 4500 es el número de personas que el campus puede sofocar (capacidad de la población susceptible).

Estudiantes infectados en una semana, en $x=7$ días:

$$\begin{array}{r}{e}^{-0.8\cdot \mathrm{(7)}}=e^{-5.6}\approx 0.003697,\end{array}$$

$$1+4499e^{-5.6}& \approx 1+4499\times 0.003697\approx 1+16.63=17.63,$$

$$P(7)& =\frac{4500}{17.63}\approx 255.4.$$

$$\boxed{{\displaystyle P(7)\approx 255\text{estudiantes}}}$$

🅱️ ¿En cuánto tiempo habrá el virus infectado a 1000 estudiantes?

Tiempo para alcanzar 1000 infectados, se tiene que $P(x)=1000$, entonces

$$1000=\frac{4500}{1+4499e^{-0.8x}}⟹1+4499e^{-0.8x}=\frac{4500}{1000}=4.5,$$

$$4499e^{-0.8x}=4.5-1=3.5⟹e^{-0.8x}=\frac{3.5}{4499}\approx 7.785\times {10}^{-4}.$$

Tomando logaritmo natural:

$$-0.8x=\ln (7.785\times {10}^{-4})\approx -7.16,x=\frac{7.16}{0.8}\approx 8.95\text{días}.$$

$$\boxed{{\displaystyle x\approx 9\text{días}}}$$

La función proporcionada es un modelo de crecimiento logísticoEste tipo de funciones se utiliza comúnmente para modelar el crecimiento de poblaciones, la propagación de epidemias o la difusión de información, donde el crecimiento es rápido al principio pero se estabiliza al alcanzar un límite., describe un crecimiento que comienza en $1$, tiene su mayor velocidad de incremento cerca de \(t \approx 10,51\) y finalmente se estabiliza en un valor máximo de $4500$.

📈 Gráfica.

📝 Aritmética de las funciones

🔢Encontremos cada resultado aplicando aritmética de funciones:

🔹 $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 3x^2- 3x -1 + 5x -3$
$(f+g)(x) = 3x^2 +2x -1$.

🔹 $(f-g)(x) = f(x) - g(x) = 3x^2- 3x -1 -(5x -3)$
$(f-g)(x) = 3x^2 -8x +2$.

🔹 $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (3x^2-3x -1)\cdot (5x -3)$
$(f \cdot g)(x) = 15x^3-24x^2 +4x +3$.

El dominio es el conjunto de todos los números reales, porque la función encontrada es un polinomio y los polinomios están definidos para cualquier valor real de la variable.

🔹 $(f\div g)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{3x^2-3x -1}{5x -3}$

El dominio de la función son todos los reales excepto cuando $g(x)=0$, por tanto, se presenta cuando $ x = \dfrac{3}{5}$, $$dom f = d_f=\mathbb{R} - \{g(x)=0\} = \mathbb{R} - \left\{\dfrac{3}{5}\right\}$$

🔹 $\sqrt \dfrac{f}{g}(x) = \sqrt \dfrac{f(x)}{g(x)} = \sqrt \dfrac{3x^2-3x -1}{5x -3}$

Para que la expresión $\sqrt \dfrac{3x^2-3x -1}{5x -3}$, sea real y esté bien definida deben cumplirse dos condiciones:

🔹 El numerador, $\sqrt{3x^2-3x-1}$, está definido cuando

$$3x^2-3x-1\ge 0.$$

🔹 El denominador, $\sqrt{5x-3}$, no puede ser cero y debe ser real, por lo que

$$5x-3>0⟹x>\frac{3}{5}.$$

🔢Con las funciones $f(x)$ y $g(x)$ , se tiene que:

La función compuesta $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

Aplicamos la expresión para la función compuesta:

$(f\circ g)(x) = f(g(x)) = f \left(\dfrac{x+1}{x-4}\right) = \left(\dfrac{x+1}{x-4}\right)^2 +1,$

donde, el dominio de la función $(f\circ g)$ es:

📝 Dominio y rango de una función $y = f(x)$

Si una función tiene varias restricciones, se deben cumplir todas ellas simultáneamente, para encontrar el dominio, se comienza aplicando las reglas y luego combinar las restricciones.

🔢Para determinar el dominio de la función $y(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, donde $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ y $g(x)=6x^2-18x+12$, debemos considerar dos aspectos principales: el dominio de $f(x)$ y los valores de $x$ para los cuales $g(x)\ne 0$.

1. Dominio de $f(x)$
   
   

   La función $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ está definida cuando el radicando es no negativo: $$9-x^2\ge 0$$ Se puede factorizar
   $(3 - x)(3 + x)\geq 0$ 📈 Gráfica.

   $$x^2\le 9$$

   $$-3\le x\le 3$$

   Por lo tanto, el dominio de $f(x)$ es $x\in [-3,3]$.
   
   

2. Dominio de $g(x)$
   
   

   La función $g(x)=6x^2-18x+12$ debe ser diferente de cero (denominador) para que $y(x)$ esté definida, primero, simplificamos $g(x)$: $$g(x)=6x^2-18x+12$$

   $$g(x)=6(x^2-3x+2)$$

Factorizamos el trinomio cuadrático:

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

$$g(x)=6(x-1)(x-2)$$

Los ceros de $g(x)$ son:

$$x=1$$

$$x=2$$

Por lo tanto, el dominio de $g(x)$ es todos los $\mathbb{R} - \{1, 2\}$

Dominio $y(x)$

El dominio de $y(x)$ es la intersección del dominio de $f(x)$ y los valores de $x$ para los cuales $g(x)\ne 0$. Por lo tanto, debemos excluir $x=1$ y $x=2$ del dominio de $f(x)$.

En conclusión, el dominio de $y(x)$ es:

$$x\in [-3,1)\cup (1,2)\cup (2,3]$$

🔢$h$ es una función racional, en el cálculo del dominio de este tipo de funciones, debemos prestar especial atención a aquellos valores que anulan el denominador.

Una función racional es una expresión de la forma: $\quad y = \dfrac{f(x)}{g(x)}, \quad$ donde $f(x)$ y $g(x)$ son funciones. El dominio de la función está compuesto por todos los valores reales de $x$ tales que el denominador no sea cero, es decir, $g(x) \neq 0$.

Analizando donde $g(x)= 0$, se tiene que:

entonces, el valor de $x = 1$ no pertenece al dominio de la función, dado que $ y = \dfrac{3(1) - 2}{2(1) -2} = \dfrac{1}{0} $ y la división por cero no está definida.

Por tanto, se puede concluir que el dominio de la función $f(x)$ son todos los números reales diferentes de 1, simbólicamente se podría escribir así:

🔢Para que la expresión $$y=\sqrt{{\displaystyle \frac{3x^2-5x+2}{x^2-1}}}$$

sea real, el numerador y el denominador deben cumplir dos condiciones:

🔹 El denominador no puede ser cero,

$$x^2-1\ne 0\Rightarrow x\ne \pm 1.$$

🔹 El cociente debe ser no negativo,

$$\frac{3x^2-5x+2}{x^2-1}\ge 0.$$

Factoricemos el numerador y el denominador:

$$3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1),x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Simplificamos factores si es posible:

$$\frac{3x^2-5x+2}{x^2-1}=\frac{(3x-2)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-2}{x+1},x\ne \pm 1.$$

Así, la desigualdad a resolver queda como: $\qquad \dfrac{3x-2}{x+1} \ge 0$

Análisis de signos, los valores críticos son: $x=-1$ (punto donde el denominador se anula), $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (cero del numerador).

Se estudia el signo en cada intervalo generado por estos puntos:

Signo de $(3x-2)$ $\quad ------------ \frac23 ++++++$

Signo de $(x+1)$ $\space \space \space ------ 1 +++++++++++++$

Signo de $\dfrac{3x-2}{x+1}$ $\space \space \space ++++++ 1 ------ \frac23 ++++++$

$$\qquad \dfrac{3x-2}{x+1} \ge 0$$

El dominio de la función es:

$$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-1)\cup [\frac{2}{3},1)\cup (1,\mathrm{\infty })}}$$

🔢Cuando es una raíz de índice par, se debe garantizar que el argumento de la raíz siempre sea mayor igual que cero ($ x \ge 0 $) y despejando a $x$ se tiene que:

$ 3x - 6 \ge 0$
$3x \ge \ 6$
$x \ge \dfrac{6}{3}=2$
$x \ge 2$

Por lo tanto, encontramos que el dominio es el conjunto de todos los números reales (\(\mathbb{R}\)) tales que $x$ sea mayor o igual que 2.

Simbólicamente se puede escribir:

Se puede presentar en una desigualdad la representación en diferentes formas de respuestas:

🔢Se presenta una función racional combinada con una raíz de indice par en el denominador, es necesario garantizar que su denominador sea diferente de cero.

$ x^2 -9 > 0$
$(x - 3)(x + 3) > 0$ Para que el producto de dos cantidades sea positivo, es necesario que ambas cantidades sean al mismo tiempo positivas, o ambas negativas.

1. Para que se cumpla que el factor $ (x - 3) > 0$ se deben tener todos los valores de $x$ tales que: $\quad x > 3$
2. Para que se cumpla que el factor $ (x - 3) > 0$ se deben tener todos los valores de $x$ tales que: $\quad x < -3$

🔢La función $f$ es una fracción, donde el numerador es una raíz de indice par, en este caso se combinan dos restricciones, por lo cual, se analizaran por separado la función $f = \dfrac{g(x)}{h(x)}$:

1. Sea la función $g(x) = \dfrac{1}{2x - 4}$, donde el dominio de $g(x)$ son todos los valores de $x$ tales que $\quad x \neq 2$$2x - 4 = 0 \\ x = \dfrac42 \\ x = 2$
2. Sea la función $h(x)= \sqrt{x + 1}$, donde el dominio de $h(x)$ son todos los $x$ tales que $\quad x \ge -1$$x + 1 \ge 0 \\ x \ge -1$

Entonces, el dominio de $f(x)$ será la intersección del dominio de las funciones $g(x)$ y $h(x)$ , esto es, de manera gráfica el esquema de la forma de hallar el dominio de $f(x)$

La intersección entre las funciones $g(x)$ y $h(x)$, esta dada por:

Por tanto, el dominio de $f(x)$ son todos los valores de $x$ tales que $x$ este entre $[-1, 2)$ unido a $(2,+\infty)$, se debe excluir el $2$ ya que sólo pertenece al dominio de $h(x)$ y no al dominio de $g(x)$,

Para hallar la intersección de dos conjuntos es necesario determinar que elementos son comunes a ambos conjuntos, en este caso $2$ pertenece al dominio de $h(x)$ pero no al de $g(x)$, por tanto no es un elemento común, el $-1$ pertenece tanto a $g(x)$ como a $h(x)$, por tanto pertenece a la intersección, es decir, al dominio de $f(x)$.

🔢Para hallar el dominio de $$\sqrt{\frac{3x^2-7x-6}{x^2-9}}$$ debemos asegurarnos de que tanto el denominador sea distinto de cero como el cociente sea no‑negativo (para que la raíz cuadrada esté definida sobre $\mathbb{R}$).

Restricción por el denominador

$$x^2-9\ne 0⟹x\ne \pm 3.$$

Restricción por el signo del cociente, necesitamos que

$$\frac{3x^2-7x-6}{x^2-9}\ge 0.$$

Para esto factorizamos numerador y denominador:

$$3x^2-7x-6=(3x+2)(x-3),x^2-9=(x-3)(x+3).$$

El cociente se simplifica (aunque debemos mantener la restricción $x\ne 3$):

$$\frac{3x^2-7x-6}{x^2-9}=\frac{(3x+2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{3x+2}{x+3},x\ne 3.$$

Los puntos críticos son $x=-\frac{2}{3}$ (cero del numerador) y $x=-3$ (punto vertical donde $f$ tiende a $\pm \mathrm{\infty }$).

Evaluamos los intervalos, se estudia el signo en cada intervalo generado por estos puntos:

Signo de $(3x+2)$ $\quad ------------ \frac23 ++++++$

Signo de $(x+3)$ $\space \space \space ------ -3 ++++++++++++$

Signo de $\dfrac{3x+2}{x+3}$ $\space \space \space ++++++ -3 ------ \frac23 +++++$

$$\qquad \dfrac{3x+2}{x+3} \ge 0$$

Por lo tanto los valores admisibles son

$$x\le -3\text{(con }x\ne -3\text{)}\text{o}x\ge -\frac{2}{3}.$$

Resultado final, combinando las restricciones:

$$\boxed{{\displaystyle D=\{x\in \mathbb{R}\mid x\le -3,x\ne -3\}\cup \{x\ge -\frac{2}{3}\}}}$$ En notación de intervalos:

📝 Transformaciones de las funciones

Para la gráfica de una función $y = f(x)$, podemos obtener nuevas funciones a partir de diferentes transformaciones:

🔢Para ir de la función base $y=x^2$ a la función transformada

$$y=-\frac{2}{3}(x-5{)}^2-2,$$

se aplican tres transformaciones sucesivas:

✏️ Desplazamiento horizontal $\quad \rightarrow \quad $ $y=(x-5{)}^2$

Se mueve la parábola $5$ unidades a la derecha de su posición original, el valor de $x$ se sustituye por $x-5$.

✏️ Escalado vertical y reflexión $\quad \rightarrow \quad $ $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x-5{)}^2$

Multiplicar por $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ hace dos cosas:

1. Compresión vertical: el factor ${\displaystyle \frac{2}{3}}<1$ reduce la altura de la parábola a ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de su valor original.
2. Reflexión sobre el eje $x$: el signo negativo invierte la parábola, de cara hacia arriba a cara hacia abajo.

✏️ Desplazamiento vertical $\quad \rightarrow \quad $ $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x-5{)}^2-2$

Se resta $2$, lo que baja la parábola $2$ unidades en el eje $y$.

🔢La función que analizamos parte de

$$f(x)=\sqrt{x}(x\ge 0)$$ y termina como

$$g(x)=-3-\sqrt{-x-7}=-(\sqrt{-x-7})-3.$$

A continuación vemos cada transformación que lleva a $f(x)$ a $g(x)$.

✏️ Reflexión horizontal $\quad \rightarrow \quad $ $f_1(x)=\sqrt{-x}$

Sustituir $x$ por $-x$ hace que la parte izquierda (para $x<0$) de la raíz se vuelva la parte derecha, pero el dominio queda

$$-x\ge 0⟹x\le 0.$$

Así la gráfica se refleja respecto al eje $y$.

✏️ Traslación horizontal a la izquierda $\quad \rightarrow \quad $

$$f_2(x)=\sqrt{-(x+7)}=\sqrt{-x-7}.$$

Para pasar de $f_1$ a $f_2$ basta con reemplazar $x+7$; es decir, trasladamos la gráfica $7$ unidades a la izquierda. El dominio nuevo es

$$-(x+7)\ge 0⟹x\le -7.$$

✏️ Reflexión vertical $\quad \rightarrow \quad $ $f_3(x)=-\sqrt{-x-7}.$

Multiplicamos toda la función por $-1$, la curva se “voltea” sobre el eje $x$; el dominio no cambia.

✏️ Traslación vertical hacia abajo $\quad \rightarrow \quad $

$$g(x)=f_3(x)-3=-\sqrt{-x-7}-3.$$

Restamos $3$, por lo que desplazamos la curva $3$ unidades hacia abajo.

🔢Determinar:

1. Dominio de la función.

   Para que el logaritmo esté definido se requiere

   $$4-x>0⟹x<4.$$

   Por lo tanto, $$\boxed{{\displaystyle \mathrm{Dom}(f)=(-\mathrm{\infty },4)}}.$$

2. Posición de las asíntotas y ejes.
   
   

   Asíntota vertical

   La desigualdad de la definición se vuelve una igualdad cuando $x$ tiende a $4$ desde la izquierda. El argumento $\ln (4-x)$ tiende a $+\mathrm{\infty }$, por lo que $f(x)=2-\ln (4-x)$ tiende a $-\mathrm{\infty }$.

   $$\boxed{{\displaystyle x=4}}\text{es la asíntota vertical (o el eje }{y}^{\prime }\text{)}.$$

   Eje de la curva (intersección con el eje $x$, también llamado línea de corte horizontal)

   A diferencia de los logaritmos convencionales, aquí no hay una asíntota horizontal; el comportamiento para $x\to -\mathrm{\infty }$ es

   $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty },$$

   por lo que no se puede identificar una asíntota horizontal. El eje mencionado en la descripción original, el “$eje x$’”, corresponde simplemente al eje $x$ que cruzamos en el punto donde$f(x)=0$.

$$\boxed{{\displaystyle x^{\prime }=4-e^2}}$$

1. Coordenadas de los intersecos con los ejes cartesianos.

   Intersección con el eje $y$ (cuando $x=0$)

   $$f(0)=2-\ln (4)=2-\ln 4$$

   $$\boxed{{\displaystyle (0,2-\ln 4)}}.$$

   Intersección con el eje $x$ (cuando $f(x)=0$)

   $$2-\ln (4-x)=0⟹\ln (4-x)=2$$

   $$4-x=e^2⟹x=4-e^2.$$

   $$\boxed{{\displaystyle (4-e^2,0)}}.$$

   $$\boxed{{\displaystyle (4-e^2,0)}}.$$

   Como $4-e^2\approx -3.389$, el punto de corte con el eje $x$ se encuentra en el primer cuadrante negativo y pertenece al dominio $x<4$.

📈 Gráfica.

En conclusión, al combinar estas operaciones, la gráfica de $y=\ln (\mathrm{x})$ se convierte en $\quad y=2-ln(4-x), \quad$ es una curva logarítmica que se extiende hacia la izquierda $4$ unidades, con una asíntota vertical en $x=4$ y un dominio $(-∞, 4)$, la gráfica sube $2$ unidades.

Tiene una reflexión de la curva logarítmica estándar, movida hacia la derecha y creciente.

Intersección en $y: f(0)=2-ln(4) ≈ 0,6137$

Intersección en $x$ con $y=0$:
$2-ln(4-x)=0 \rightarrow ln(4-x)=2 \rightarrow x=4-e^2 ≈ -3,389$

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🅿️ Sea la función trigonométrica $$f(x)=k ± a \cdot sen(bx-c)\quad ó \quad f(x)=k ± \cdot cos⁡(bx-c) $$ $f(x)=2-2\cdot cos(x + \dfrac{\pi}{2})$

🅰️ Defina la posición de los ejes $y´$ y $x´$, la amplitud, el valor de $b$, el intervalo del ciclo y el período.

🅱️ Realice la gráfica de la función en el intervalo de ciclo, donde se especifiquen claramente las unidades tanto del eje vertical como en el horizontal, además, determine dominio y rango de la función.

🔢Para el analisis de la función, tener encuenta que:

Datos de la función:

$$f(x)=2-2\cos (x+\frac{\pi }{2})$$

🅰️ Posición de los ejes $y^{\prime }$ y $x^{\prime }$, amplitud y valor de $b$

Eje $y^{\prime }$ (traslación vertical). La constante que aparece adelante de la función trigonométrica es $k$.

$$k=2\Rightarrow \text{el eje horizontal }{y}^{\prime }\text{ está a }y=2.$$

Eje $x^{\prime }$ (desfase horizontal)

En la forma $\quad$ ($bx-c$)$\quad$ se tiene

$$b=1,c=-\frac{\pi }{2}\text{(porque }x+\frac{\pi }{2}=x-(-\frac{\pi }{2})).$$

Por lo tanto

$$D=-\frac{c}{b}=\frac{\pi }{2}.$$

La Amplitud esta dada por:

$$A=|a|=|-2|=2.$$

El Intervalo de ciclo y período, donde el intervalo de ciclo se fija con la condición

$$0\le bx-c\le 2\pi .$$

Como $\quad$ $b=1,c=-\frac{\pi }{2}$,

$$0\le x+\frac{\pi }{2}\le 2\pi ⟹-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}.$$

El Período esta dado por:

$$\tau =\frac{2\pi }{b}=\frac{2\pi }{1}=2\pi .$$

🅱️ Gráfica en el intervalo de ciclo

Gráfica de $f(x)=2-2\cos (x+\pi /2)$ en $[-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$

El máximo se alcanza cuando $\cos (x+\pi /2)=-1$ → $f_{max}=4$.

El mínimo se alcanza cuando $\cos (x+\pi /2)=1$ → $f_{min}=0$.

Rango de la función, la función oscila entre $4$:

$$\boxed{{\displaystyle \text{Rango}=[0,4]}}$$

Esto coincide con el cálculo de $k\pm A=2\pm 2$.

📝 El límite de una función y sus propiedades

🔢Analizar las condiciones dadas y entender qué implican en términos de comportamiento de la función:

1️⃣ Análisis del límite en $x=-2$

En otras palabras, analizamos si $\displaystyle\lim_{x \to -2}f(x)$ existe.

Como los límites laterales por la izquierda y por la derecha son iguales, el límite bilateral existe, como ambos límites laterales son iguales a $-1$, el límite existe, se indica:

2️⃣ Análisis del dominio y el punto $x=1$,

¿En $x=1$ se presenta un orificio? Como el dominio de la función es $D_f = R-\{-1\}$, entonces en el dominio se excluye a $-1$, por tal motivo, se trata de un punto hueco.

En las funciones racionales, un punto excluido del dominio corresponde usualmente a una asíntota vertical o a un orificio (punto vacío).

Si bien el enunciado no da el límite en $-1$, en el contexto de las condiciones, se presenta una asintota vertical en $x=-1$

3️⃣ Análisis del límite en $x=3$

Se presentan en las condiciones los siguientes valores para los límites laterales en $x=3$:

Para que un límite bilateral exista, los límites laterales deben ser iguales, dado que $6 \neq 4$, concluimos que:

📈 Gráfica.

¡Piensa! De acuerdo con el enunciado y las condiciones dadas, una de las afirmaciones que se presentan a continuación es falsa, indique cuál: $\quad$ RespuestaLa afirmación N°3 es la falsa.

Para que un límite bilateral exista, los límites laterales deben ser iguales, dado que $6 \neq 4$, concluimos que:

$$\displaystyle\lim_{x \to 3}f(x)\space No\space existe$$ En la gráfica se observa el salto de continuidad en $x=3$, donde el límite desde la izquierda tiende a $6$ pero el valor de la función y el límite desde la derecha son$4$. .

1. $\displaystyle\lim_{x \to -2}f(x)$ existe
2. En $x=-1$ hay un orificio
3. $\displaystyle\lim_{x \to 3}f(x)$ existe y es igual a $f(3)$
4. $\displaystyle\lim_{x \to 3}f(x)$ no existe

Límites directos

🔢Este límite es de evaluación directa, remplazando $x = \frac{\pi}{2} = 45°$

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan(\frac{x}{2})}{sen(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan(\frac{\pi}{2(2)})}{sen(\frac{\pi}{2(2)})} = $$ $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan(\frac{\pi}{4})}{sen(\frac{\pi}{4})} = \frac{tan(45°)}{sen(45°)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$

Multiplicamos producto de medios, producto de extremos y racionalizamos el denominador, entonces:

por tanto, $$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan(\frac{x}{2})}{sen(\frac{x}{2})}=\sqrt{2} $$

🔢Evaluando el límite se tiene que $(0)^2 + 3(0) - 2 = -2$, luego el límite existe cuando $x = 0$, osea, se acerca a $-2$.

🔢Evaluando el límite se tiene que

Límites trigonométricos

🔢Solución aplicando propiedad de los límites trigonométricos:

$$\lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4}\cdot \frac{Sen(x)}{x} = \frac{1}{4}\cdot \lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{x} = \frac{1}{4}\cdot (1) = \frac{1}{4} $$ por lo tanto $$\lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{4x} = \frac{1}{4} $$

🔢Solución aplicando propiedad de los límites trigonométricos:

$$\lim_{x \to 0} \frac{Sen(3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \frac{Sen(3x)}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{3}{3}\frac{Sen(3x)}{x} = $$ $$\frac{1}{2}.(3) \lim_{x \to 0} \frac{Sen(3x)}{3x} = \frac{3}{2}.(1) = \frac{3}{2} $$

🔢Solución aplicando propiedad de los límites trigonométricos:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x-x Cos(x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} (x).(\frac{1}{3}).\frac{1-Cos(x)}{x^2} = $$ $$ (\frac{1}{3}) \lim_{x \to 0} \cancel{x}.\frac{1-Cos(x)}{x\cancel{^2}} = (\frac{1}{3}) \lim_{x \to 0} \frac{1-Cos(x)}{x} = (\frac{1}{3}).(0) = 0 $$ por lo tanto $$\lim_{x \to 0} \frac{x-x Cos(x)}{3x^2} = 0$$

Límites Indeterminados

🔢Se presenta una indeterminacion de la forma $\frac00$

Para resolver este límite, utilicemos la siguiente identidad trigonométrica:

Identidad para sustituir $cot(x)=\dfrac{cos(x)}{sen(x)}$,

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Cos(x)}{Cot(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac {Cos(x)}{\frac{Cos(x)}{Sen(x)} }$$

Aplicamos producto de medios y extremos

🔢Se presenta una indeterminacion de la forma $\frac00$

Este limite se resuelve por sustitución con cambio de variable.

Sea $\quad\theta = \frac{\pi}{2}-x, \quad$ donde $\quad x = \frac{\pi}{2} - \theta$,
si ${x \to \frac{\pi}{2}}\quad$ entonces $\quad{\theta \to 0},\quad$ el nuevo límite es:

donde, $\quad cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \quad$ y $\quad sen(\frac{\pi}{2}) = 1,\quad$ entonces,

🔢Primero se evalúa el límite por sustitución directa y se encuentra una indeterminación:

Para eliminar la indeterminación en este caso, resolvemos la expresión racional y simplificamos los resultados.

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{8}{x}}{1 - \frac{2}{x}}= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x+8}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}.(x+8)}{\cancel{x}.(x-2)} $$

$$\lim_{x \to 0} \frac{x+8}{x-2} = \frac{0+8}{0-2} = \frac{8}{-2} = -4 $$

Por tanto, el límite es: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{8}{x}}{1 - \frac{2}{x}}= -4$$

🔢Primero se evalúa el límite por sustitución directa, donde se presenta una indeterminacion de la forma $\frac00$

en este caso multiplicando y dividiendo toda la función por la conjugada del numerador,

$$(\sqrt{a}-\sqrt{b}).(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$$

$$\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}= \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x})^2-(2)^2}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}= $$

$$\lim_{x \to 4} \frac{\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}(\sqrt{x}+2)}= \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2}=$$ $$\frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} $$

🔢Primero se evalúa el límite por sustitución directa, donde se observa que presenta una indeterminacion de la forma $\frac00$:

Descomponemos en factores los polinomios del numerador y del denominador, simplificando los factores comunes.

Diferencia de cuadrados: $\quad a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

En este caso, se factoriza el numerador y se tiene que:

🔢Para calcular el límite basta con una simple manipulación algebraica con operaciones de expresiones racionales.

Paso 1 – Unificar denominadores

$$\frac{9^{-1}-(3+x{)}^{-2}}{x}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{9}-\frac{1}{(3+x{)}^2}}}{x}=\frac{{\displaystyle \frac{(3+x{)}^2-9}{9(3+x{)}^2}}}{x}=\frac{(3+x{)}^2-9}{9(3+x{)}^{2}x}.$$

Paso 2 – Simplificar el numerador

$$(3+x{)}^2-9=(9+6x+x^2)-9=6x+x^2=x(6+x).$$

Así

$$\frac{(3+x{)}^2-9}{9(3+x{)}^{2}x}=\frac{x(6+x)}{9(3+x{)}^{2}x}=\frac{6+x}{9(3+x{)}^2}.$$

Paso 3 – Tomar el límite cuando nos aproximamos a $x=0$,

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6+x}{9(3+x{)}^2}=\frac{6+0}{9(3+0{)}^2}=\frac{6}{9\cdot 9}=\frac{6}{81}=\frac{2}{27}.$$

🔢Para resolver el límite, manipulamos algebraicamente la expresión.

Aplicamos la conjugada, multiplicamos numerador y denominador por la conjugada de $\space$$5-\sqrt{9+x^2}$:

$$\frac{4-x}{5-\sqrt{9+x^2}}\cdot \frac{5+\sqrt{9+x^2}}{5+\sqrt{9+x^2}}=\frac{(4-x)(5+\sqrt{9+x^2})}{(5{)}^2-(\sqrt{9+x^2}{)}^2}.$$

El denominador se simplifica con la diferencia de cuadrados:

$$(5{)}^2-(\sqrt{9+x^2}{)}^2=25-(9+x^2)=16-x^2.$$ Así que $$\frac{4-x}{5-\sqrt{9+x^2}}=\frac{(4-x)(5+\sqrt{9+x^2})}{16-x^2}.$$

Factorizamos el denominador

$$16-x^2=(4-x)(4+x).$$

Como en el límite $x\ne 4$ (siempre que estemos cerca de 4 pero no en 4 mismo), podemos cancelar el factor $(4-x)$:

$$\frac{(4-x)(5+\sqrt{9+x^2})}{(4-x)(4+x)}=\frac{5+\sqrt{9+x^2}}{4+x}.$$

Evaluamos el límite, ya que la expresión resultante es continua en $x=4$ (no hay división por cero).

Por tanto, simplemente sustituimos:

$$\underset{x\to 4}{lim}\frac{5+\sqrt{9+x^2}}{4+x}=\frac{5+\sqrt{9+4^2}}{4+4}=\frac{5+\sqrt{25}}{8}=\frac{5+5}{8}=\frac{10}{8}=\boxed{{\displaystyle \frac{5}{4}}}.$$

🔢Para evaluar puede usarse la técnica de racionalizar el numerador, multiplicamos y dividimos por el conjugado $4+\sqrt{x}$:

$$\frac{4-\sqrt{x}}{x-16}\frac{4+\sqrt{x}}{4+\sqrt{x}}=\frac{(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})}{(x-16)(4+\sqrt{x})}.$$

El numerador se convierte en una diferencia de cuadrados:

$$(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})=4^2-(\sqrt{x}{)}^2=16-x.$$

Ahora el límite es

$$\underset{x\to 16}{lim}\frac{16-x}{(x-16)(4+\sqrt{x})}=\underset{x\to 16}{lim}\frac{-(x-16)}{(x-16)(4+\sqrt{x})}=\underset{x\to 16}{lim}\frac{-1}{4+\sqrt{x}}.$$

Al sustituir $x=16$ se obtiene que $\quad\displaystyle \lim_{x \to 16} \frac{4-\sqrt{x}}{x-16}= \frac{-1}{8}$

🔢El límite que buscas es $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{{\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}}}.$$

Primero simplificamos el denominador:

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x^2-1}.$$

Entonces la expresión completa se convierte en

$$\frac{x}{{\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}}=x\frac{x^2-1}{2x}=\frac{x^2-1}{2}.$$

Ahora basta con evaluar el límite cuando $x$ tiende a $0$:

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-1}{2}=\frac{0^2-1}{2}=-\frac{1}{2}.$$

👉 “Piensa, resuelve y comprueba tu respuesta.”

🔢

Límites Infinitos

🔢Dividimos por la mayor potencia de $x$, en este caso $x^2$

Aplicando las propiedades de los límites y distribuyendo en toda la expresión tenemos que:

🔢Dividimos por la mayor potencia de $x$, en este caso $x^2$ y simplificamos cada termino que sea posible

por tanto, aplicando las propiedades de los límites y distribuyendo en toda la expresión tenemos que:

Aplicando la regla $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$, obtenemos,

🔢Dividimos por la mayor potencia de $x$, en este caso $x^3$

Aplicando las propiedades y distribuyendo tenemos que:

por tanto el límite no existe, $\quad \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x}{5 - x}= \infty$

🔢Para evaluar el límite $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x-5}{\sqrt{4x^2+3}}$, podemos dividir tanto el numerador como el denominador por $x$ para simplificar la expresión:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x-5}{\sqrt{4x^2+3}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{6x}{x}-\frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{3}{x^2}}}$$

Simplificando cada término: $$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6-\frac{5}{x}}{\sqrt{4+\frac{3}{x^2}}}$$

Ahora, evaluamos el límite cuando $x \to \infty$, entonces $\quad\frac5x = 0 $ y $\quad\frac{3}{x^2}=0$

Por lo tanto, la expresión se simplifica a:

Así, el límite es: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x-5}{\sqrt{4x^2+3}}=3$$

🔢Se presenta una forma indeterminada $\dfrac∞∞$, observemos que la mayor potencia es $x^3$, dividamos todo por la mayor potencia:

Ahora, aplicamos el teorema $\quad \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0\quad$

📝 Asíntotas de una función $y=f(x)$

1. Asíntota vertical.

   $x=a$ es una asíntota vertical si se cumple cualquiera de las siguientes afirmaciones:

   $$ \lim_{x \to a^-}f(x) = -\infty$$	$$ \lim_{x \to a^+}f(x) = -\infty$$	$$ \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$$
   $$ \lim_{x \to a^-}f(x) = \infty$$	$$ \lim_{x \to a^+}f(x) = \infty$$	$$ \lim_{x \to a}f(x) = \infty$$

2. Asíntota horizontal.

   La recta $y=b$ es una asíntota horizontal si se cumple que:

   $$ \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = b$$
3. Asíntota oblicua.

   La curva $y=f(x)$ tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es la función lineal $\quad y=mx+b \quad$ con $\quad m \neq 0$, donde:

   $$m=\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} \qquad b= \lim_{x \to \infty}\big[f(x)- m(x)\big]$$

🔢Analizar las condiciones dadas y entender qué implican en términos de comportamiento de la función:

1️⃣ Determinar la posición de la asintota(s) vertical si la(s) tiene.

Para determinar la posición de las asíntotas verticales de la función $f$, se tiene que el dominio de $f$ $\mathbb{R}-\{-4,0\}$, esto significa que la función está definida para todos los números reales excepto $x=-4$$x=0$.

La exclusión de estos puntos del dominio sugiere que podrían ser candidatos para asíntota verticalLas asíntotas verticales se caracterizan por que la función tiende a $\pm \mathrm{\infty }$ al acercarse al punto de discontinuidad. .

1. Comportamiento en $x=-4$:

   Como $\displaystyle\lim_{x \to -4^-}f(x) = \infty,$ esto indica que cuando $x$ se acerca a $-4$ por la izquierda, la función tiende a infinito, este comportamiento es característico de una asíntota vertical en $x=-4$.

2. Comportamiento en $x=0$:

   La función es discontinua en $x=0$ y $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=-\frac{5}{4}$. Aunque la función tiene un límite finito en $x=0$, la discontinuidad en este punto no necesariamente implica una asintota vertical.

En conclusión, la única asíntota vertical de la función $f$ está en $x=-4$, debido a que la función tiende a infinito al acercarse a este punto por la izquierda. No hay asíntota vertical en $x=0$ porque el límite en ese punto es finito.

2️⃣ Determinar la posición de la asintota(s) horizontal si la(s) tiene.

Para determinar la posición de las asíntotas horizontales de la función $f$, analizaremos las condiciones dadas y el comportamiento de la función en los límites correspondientes.

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-1$$

Estos límites indican que la función $f$ se acerca al valor $-1$ tanto cuando $x$ tiende a $-\mathrm{\infty }$ como cuando $x$ tiende a $\mathrm{\infty }$. Por lo tanto, $y=-1$ es una asíntota horizontal de la función$f$.

Este límite $\displaystyle\lim_{x \to -4^-}f(x) = \infty,$ sugiere que la función $f$ tiende a infinito cuando $x$ se acerca a $-4$ por la izquierda, sin embargo, este comportamiento no proporciona información directa sobre asíntotas horizontales, sino más bien sobre asíntotas verticales.

En conclusión, la única asíntota horizontal de la función $f$ está ubicada en $y=-1$, esto se debe a que los límites de $f$ cuando $x$ tiende a $-\mathrm{\infty }$ y a $\mathrm{\infty }$ son ambos iguales a $-1$, lo que define una asíntota horizontal en esa posición.

3️⃣ Determinar los interceptos con los ejes cartesianos.

Para determinar los interceptos, necesitamos encontrar los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$ (intercepto con el eje $x$) y el valor de $f(x)$ cuando $x=0$ (intercepto con el eje $y$).

1. Intercepto con el eje $x$

   El intercepto con el eje $x$ ocurre cuando $f(x)=0$.

   Según la información proporcionada, sabemos que $f(-5)=0$, por lo tanto, el punto $(-5,0)$ es un intercepto con el eje $x$.

2. Intercepto con el eje $y$

   El intercepto con el eje $y$ ocurre cuando $x=0$.

   Según la información proporcionada, la función $f$ es discontinua en $x=0$ y tiene un límite de $-\frac{5}{4}$ cuando $x$ se acerca a 0, esto significa que: $$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=-\frac{5}{4}$$

   Por lo tanto, el intercepto con el eje $y$ sería el punto $(0,-\frac{5}{4})$, pero, se tiene que $D_f = R-\{-4,0\}$

📈 Gráfica

🥇 Intercepto con el eje $x$: $(-5,0)$
🥈 Intercepto con el eje, no tiene, puesto que $x = 0 \notin d_f$, la función $f$ es discontinua en $x = 0$.

Estos son los interceptos de la función $f$ con los ejes cartesianos basados en la información proporcionada.

📝 Continuidad de una función $y=f(x)$

Explicación clara de la derivada como tasa de cambio y pendiente de la recta tangente. Se cubren las reglas fundamentales (potencia, suma, producto, cociente y cadena) con ejemplos resueltos paso a paso. También se muestran intuiciones geométricas para entender qué está midiendo la derivada.

📝 Definición de la derivada

®️ Para hallar la derivada de la función $f(x)=6\sqrt{2x-1}$ aplicando la definición del límite de la derivada, seguiremos los siguientes pasos:

Aplicando definición de derivadaDefinición de la derivada desde el límite.
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ a la función $f(x)=6\sqrt{2x-1}$:

Calculamos $$f(x+h)=6\sqrt{2(x+h)-1}=6\sqrt{2x+2h-1}$$

donde, $$f(x+h)-f(x)=6\sqrt{2x+2h-1}-6\sqrt{2x-1}$$

Simplificar el cociente,

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{6\sqrt{2x+2h-1}-6\sqrt{2x-1}}{h}=$$

$$=\frac{6\sqrt{2x+2h-1}-6\sqrt{2x-1}}{h}=6\cdot \frac{\sqrt{2x+2h-1}-\sqrt{2x-1}}{h}$$

Racionalizar el numerador, multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador:

$$=6\cdot \frac{\sqrt{2x+2h-1}-\sqrt{2x-1}}{h}\cdot \frac{\sqrt{2x+2h-1}+\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x+2h-1}+\sqrt{2x-1}}$$

$$=6\cdot \frac{(2x+2h-1)-(2x-1)}{h(\sqrt{2x+2h-1}+\sqrt{2x-1})}$$

Simplificar el numerador:

$$(2x+2h-1)-(2x-1)=2h$$

Por lo tanto:

$$=6\cdot \frac{2h}{h(\sqrt{2x+2h-1}+\sqrt{2x-1})}=\frac{12}{\sqrt{2x+2h-1}+\sqrt{2x-1}}$$

Tomar el límite cuando $h\to 0$:

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{12}{\sqrt{2x+2h-1}+\sqrt{2x-1}}=\frac{12}{2\sqrt{2x-1}}=\frac{6}{\sqrt{2x-1}}$$

®️ Para hallar la derivada de la función $f(x)=5x^2+3x-1$, calculamos: $$f(x+h)=5(x+h)^2+3(x+h)-1$$

Aplicando la definición de derivadaDefinición de la derivada desde el límite.
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$, se tiene que:

Simplificando el numerador, se tiene:

Evaluando el límite, se tiene que:

®️ Para encontrar la derivada de la función aplicando la definición de límite, seguiremos los siguientes pasos:

Aplicando el límite a nuestra función $f(x)=\sqrt{2x+5}$, se tiene que:

Primero calculamos $$f(x+h)=\sqrt{2(x+h)+5}=\sqrt{2x+2h+5}$$

Sustituimos en la definición de derivadaDefinición de la derivada desde el límite.
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{2x+2h+5}-\sqrt{2x+5}}{h}$$

Para simplificar el límite, multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador: $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(\sqrt{2x+2h+5}-\sqrt{2x+5})(\sqrt{2x+2h+5}+\sqrt{2x+5})}{h(\sqrt{2x+2h+5}+\sqrt{2x+5})}$$

Simplificamos Utilizamos diferencia de cuadrados:
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ el numerador

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(2x+2h+5)-(2x+5)}{h(\sqrt{2x+2h+5}+\sqrt{2x+5})}$$ $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2h}{h(\sqrt{2x+2h+5}+\sqrt{2x+5})}$$

Cancelamos $h$ en el numerador y el denominador:
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2}{\sqrt{2x+2h+5}+\sqrt{2x+5}}$$

Evaluamos el límite cuando $h$ tiende a 0:
$$f^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+5}}=\frac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$$

📝 Derivada como pendiente de una recta tangente a una curva en un punto $x=c$

®️ Para hallar la derivada de la función $f(x)=3x^2+x-1$, calculamos: $$f(x+h)=3(x+h)^2+(x+h)-1$$

Aplicando la definición de derivadaDefinición de la derivada desde el límite.
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$, se tiene que:

Simplificando el numerador, se tiene:

Evaluando el límite, se tiene que:

Para hallar el valor de la derivada en un punto $x = c$ basta con evaluar la derivada en ese punto.

Evaluemos la derivada en el punto $x=-2$ para determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

      La derivada de la función $f(x)$ es: $\qquad f'(x) = 6x+1$.

La derivada en un punto $x=c$, corresponde a la pendiente de la recta tangente en el punto, se denota como:

$$m=f'(c)=\frac{dy}{dx} \Big|_{x=c}$$

Por tanto, $\quad m = -11$, es la pendiente de la recta tangente a la curva $f(x)$ en $x = -2$.

®️Encontremos la ecuación de la recta en el punto dado, con la ecuación punto-pendiente, donde remplazando el punto $P(-1,-1)$, se tiene que: $$y+1=m_{tg}(x+1)$$

Esta es la ecuación de la recta tangente a la curva $y=x^3$ en el punto $P(-1,-1)$, ahora solo debemos encontrar el valor de la pendiente $m_{tg}$ que está dada por la derivada de la curva evaluada en $x=-1$, $$m_{tg}=f'(-1)$$

Utilizando la definición de derivada para $f'(x)$ se obtiene: $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}$$ $$f'(x)=3x^2$$

Por lo tanto, la pendiente cuando $x=-1$ es: $$m_{tg}=f'(-1)=3(-1)^2=m_{tg}=3$$

Entonces, la ecuación de la recta tangente a la curva $y=x^3$ en el punto $P(-1,-1)$ es: $\qquad \quad y= 3x+2$

®️Primero debemos encontrar la derivada de la función, para encontrar la pendiente de la recta tangente.

Derivada de la función \(f(x)=\sqrt{2x+5}\) es

\(f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(\sqrt{2x+5})=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\)       (Ver ejercicio 3.3)

Determinar la pendiente $m$ de la recta tangente, la pendiente de la recta tangente en el punto \(P(-2,1)\) se encuentra evaluando la derivada en \(x=-2\).

\(m=f^{\prime }(-2)=\frac{1}{\sqrt{2(-2)+5}}=\frac{1}{\sqrt{-4+5}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1\)

La pendiente de la recta tangente es $m=1$.

Encontrar la ecuación de la recta tangente.

Usando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta,

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

donde \((x_{1},y_{1})=(-2,1)\) y \(m=1\)

\(y-1=1(x-(-2))\)

\(y-1=x+2\)

Ecuación de la recta tangente es \(y=x+3\)

📝 Reglas de la derivada de funciones

®️Se tiene la siguiente relación trigonométrica:

$$y=cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$$

Entonces, aplicando la regla de divisón de funciones, tenemos:

Se utiliza la identidad: $\quad sen^2(x) + cos^2(x)=1$,

®️Aplicando la derivada de función exponencial$\quad y=b^x \qquad y'=b^x.(ln (b))$, se tiene que:

®️Aplicando la derivada de función logarítmica$\quad y=log_b(x) \qquad \displaystyle y'=\frac{1}{x(ln(b))}$, se tiene que:

Ahora aplicamos de nuevo la derivada a la expresión hallada $\displaystyle\frac{dy}{dx}$

Para encontrar la segunda derivada, se observa que $\frac{1}{Ln(3)}$ es una constante, entonces solo aplicamos la derivada a la expresión siguiente: $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} = x^{-1}$$

por tanto, aplicando regla de la potencia$y = x^n \qquad y'=n.x^{n-1}$, la segunda derivada es:

®️Se halla primero la derivada de $f(𝑥) = 5𝑥^2− 2𝑥 + 3$:

Luego, como $m=f'(x)=18$, entonces, despejando $x$, se tiene que:

Ahora evaluando en la función $f(x)$ para encontrar $y$, se tiene que:

por tanto, el punto es: $\qquad (2, f(2)) = (2,19)$.

Aplicaciones prácticas de la derivada: optimización, tasas relacionadas y análisis de comportamiento de funciones. Se presentan problemas resueltos que ilustran cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos y para interpretar cambios en escenarios reales.

📝 Regla de L'hopital

🔢 Aplicando la Regla de L'hopital, se tiene que:

$$ \lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}= \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-(0)}{(1)-(0)}=$$ $$\lim_{x \to 4}\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} $$

🔢 Primero se evalúa el límite por sustitución directa:

entonces, aplicando la Regla de L'hopital, se tiene que:

$$ \lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)} =\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(0)-1}{- Sen(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{Sen(x)}$$

Ahora, evaluamos el límite cuando ${x \to \frac{\pi}{2}}$, entonces, se tiene que:

🔢 Al sustituir $x\to \mathrm{\infty }$ obtenemos, $\quad\displaystyle\lim_{x \to ∞} \frac{ln(1+\frac{2}{x^2})}{\frac{2}{x^2}}=\frac{ln(1)}{0}=\frac00$,

por lo que aplicamos la regla de L’hopital:

📍 Derivada del numerador:

$$\frac{d}{dx}\ln (1+\frac{2}{x^2})=\frac{1}{1+\frac{2}{x^2}}\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x^2}\right)=\frac{1}{1+\frac{2}{x^2}}(-\frac{4}{x^3})=$$

$$\frac{d}{dx}\ln (1+\frac{2}{x^2})=-\frac{4}{x^3(1+\frac{2}{x^2})}$$

📍 Derivada del denominador:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{2}{x^3}$$